Halaman
Matriks27Bab 2MatriksPeta KonsepMenggunakan matriks dalam pemecahan masalahqMenggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatumatriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lainqMenentukan determinan dan invers matriks 2 x 2qMenggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan lineardua variabelStandar KompetensiKompetensi DasarMatriksPengertian, Notasi, danOrdo Suatu MatriksPengertian MatriksJenis-jenis MatriksKesamaan MatriksTranspose MatriksOperasi Aljabar pada MatriksPenjumlahan MatriksPengurangan MatriksPerkalian Matriks dengan BilanganPerkalian Matriks dengan MatriksDeterminan dan Invers MatriksDeterminan MatriksInvers MatriksPenerapan Matriks dalam SistemPersamaan Linear
28Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaSumber: bataknews.files.wordpress.comGambar 2.1Anda tentu pernah pergi ke pasar buah, bukan? Sekarang, coba simakcerita berikut ini. Pada hari Minggu pagi, Fita dan Ratna pergi ke pasarbuah bersama–sama. Fita membeli 3 kg jeruk dan 4 kg manggis denganharga keseluruhan Rp38.000,00. Ratna membeli 2 kg jeruk dan 3 kg manggis.Untuk itu, ia harus membayar Rp27.000,00. Dapatkah Anda menentukanharga masing–masing buah tiap kgnya? Penyelesaian permasalahan tersebutdapat dicari dengan menggunakan matriks.Pernahkah Anda mendengar istilah matriks? Aljabar matriks menetapkannotasi secara jelas dan singkat untuk merumuskan dan memecahkan berbagaimasalah, bahkan yang rumit sekalipun. Selain berperan penting dalampenyelesaian sistem persamaan linear, seperti kasus di atas, matriks juga dapatdigunakan untuk menyajikan informasi secara efektif dan menarik. Jadi, apayang disebut matriks? Bagaimana matriks dapat digunakan untukmenyelesaikan suatu permasalahan sistem persamaan linear? Bila Anda belumtahu jawabannya, silakan mengikuti pembahasan tentang matriks berikut.A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Suatu Matriks1. Pengertian Matriksa. Pengertian MatriksDalam kehidupan sehari–hari kita, sering menjumpai informasiyang disajikan dalam bentuk tabel atau daftar yang berisi angka–angkadan disusun menurut baris dan kolom. Sebagai contohnya adalah datanilai ujian 2 mata pelajaran dari 2 siswa kelas XII Bahasa yang disajikandalam tabel 2.1 berikut.Tabel 2.1Nilai UjianBahasa IndonesiaBahasa InggrisAndi87Alfin98
Matriks29Kalau informasi tersebut hanya kita tuliskan bilangannya saja, makaakan diperoleh kelompok bilangan sebagai berikut:8798Kelompok bilangan tersebut disusun dalam bentuk persegi yang terdiriatas baris dan kolom. Agar berbatas, maka bagian tepi dari kelompokbilangan itu diberi tanda kurung, dapat berupa kurung biasa ataukurung siku, sehingga diperoleh:8798§· ̈ ̧©¹Bentuk di atas dinamakan matriks.Dari uraian di atas dapat disimpulkan:Matriks adalah susunan bilangan yang berbentuk jajaranpersegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris dan kolom.Pada matriks di atas, 8 adalah elemen/unsur matriks pada barispertama dan kolom pertama, ditulis a11 = 8, elemen–elemen yang lainditulis a12 = 7, a21 = 9, dan a22 = 8. Sehingga diperoleh bentuk umummatriks yang mempunyai 2 baris dan 2 kolom, yaitu:A =11122122aaaa§· ̈ ̧©¹b. Notasi MatriksSuatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar (kapital),seperti A, B, C, dan sebagainya.Contoh 2.1(i) Dengan menandai kurung biasaA = 2331§· ̈ ̧©¹ dan B = 705139077§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹(ii) Dengan menandai kurung sikuA = 2331ªº«»¬¼ dan B = 705139077ªº«»«»«»¬¼baris ke–1kolom ke–1baris ke–2kolom ke–2
30Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasac.Pengertian Baris, Kolom, dan Elemen MatriksKita telah mengetahui bahwa sebuah matriks terdiri darisekelompok bilangan yang disusun dalam bentuk baris–baris dankolom–kolom. Bilangan–bilangan yang terdapat dalam matriksdinamakan unsur atau elemen.Contoh 2.2C = 257901§· ̈ ̧©¹Susunan mendatar dari bilangan–bilangan pada matriksdinamakan baris matriks.257obaris pertama901obaris keduaSusunan bilangan–bilangan yang tegak pada matriks dinamakankolom matriks.257901nnnkolom pertamakolom keduakolom ketigaSehingga:2 merupakan elemen matriks baris ke–1 kolom ke–15 merupakan elemen matriks baris ke–1 kolom ke–27 merupakan elemen matriks baris ke–1 kolom ke–39 merupakan elemen matriks baris ke–2 kolom ke–10 merupakan elemen matriks baris ke–2 kolom ke–21 merupakan elemen matriks baris ke–2 kolom ke–3d. Pengertian Ordo MatriksSuatu matriks A, yang terdiri dari m baris dan n kolom, dikatakanberordo mun dan ditulis dengan lambang Amun. Sedangkan banyaknyaelemen (unsur) matriks A sama dengan mun buah. Dengan demikian,matriks A yang berordo mun dapat disajikan sebagai berikut:
Matriks31111213121222323132333123... ...... ...... ............... .................. ......... ...nnnmnmmmmnaaaaaaaaaaaaAaaaauªº«»«»«»«»«»«»«»«»¬¼Contoh 2.3A2 u 2 =3517§· ̈ ̧©¹omerupakan matriks berordo 2 x 2 , banyak baris 2dan banyak kolom juga 2.B2 u 3 = 214708§· ̈ ̧©¹omatriks berordo 2 x 3, banyak baris 2 danbanyak kolom 3.Contoh 2.4Diketahui matriks: C = 75381902§· ̈ ̧©¹.Tentukan:a. elemen–elemen pada baris ke–1b. elemen–elemen pada kolom ke–4c.elemen pada baris ke–2 kolom ke–3d. ordo matriks CPenyelesaian:a. elemen–elemen pada baris ke–1 adalah 7, –5, 3, dan 8b. elemen–elemen pada kolom ke–4 adalah –8 dan 2c.elemen pada baris ke–2 dan kolom ke–3 adalah a23 = 0d.C berordo 2 u 4Kolom ke–1Kolom ke–nBaris ke–mBaris ke–2Baris ke–1Kolom ke–2
32Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa2. Jenis–Jenis MatriksDitinjau dari banyaknya baris dan banyaknya kolom serta jenis elemen–elemennya, maka matriks dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu:a. Matriks BarisMatriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris ataumatriks yang berordo 1 un dengan n > 1Contoh 2.5A1 u 3 = (27)B1 u 4 = (90–1 5)b. Matriks KolomMatriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom ataumatriks yang berordo mu 1 dengan m > 1Contoh 2.6A3 u 1 = 704§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹B4 u 1 = 5018§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹c.Matriks Persegi atau Matriks KuadratMatriks persegi atau matriks kuadrat adalah matriks yangbanyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Matriks Amun disebutmatriks persegi jika m = n, sehingga sering ditulis Amun = An.Pada matriks persegi, elemen–elemen a11, a22, a33, ..., ann disebutelemen–elemen diagonal utama. am1, ..., a1n disebut elemen–elemendiagonal kedua. Hasil penjumlahan dari elemen–elemen pada diagonalutama matriks persegi disebut trace A.Trace A = a11 + a22 +... + annContoh 2.7A3 u 3 = A3 = 192546381§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Elemen diagonal utamanya adalah 1, –4, dan –1.Elemen diagonal kedua adalah 3, –4, dan 2.Trace A=1 + (–4) + (–1)=–4
Matriks33d. Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennyabernilai nol, kecuali elemen diagonal utama.Contoh 2.8A2 = 7009§· ̈ ̧©¹B3 = 800000003§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹C4 = 3000030000300003§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹e.Matriks Segitiga AtasMatriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen–elemendi bawah diagonal utamanya adalah nol.Contoh 2.9A2= 1306§· ̈ ̧©¹B3= 729013007§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹f.Matriks Segitiga BawahMatriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen–elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.Contoh 2.10C2= 8054§· ̈ ̧©¹D3= 500170459§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹g. Matriks IdentitasMatriks identitas adalah matriks diagonal yang semua nilai elemenpada diagonal utamanya sama dengan positif satu, sedangkan elemenlainnya nol. Matriks identitas disebut juga matriks satuan yangdilambangkan dengan ”I”.Contoh 2.11I2 u 2=1001§· ̈ ̧©¹I3 u 3=100010001§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹h. Matriks NolMatriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya bernilai nol.Matriks nol dinyatakan dengan lambang ”O”.
34Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaContoh 2.12O2 u 2 = 0000§· ̈ ̧©¹O2 u 3 = 000000§· ̈ ̧©¹O3 u 2 = 000000§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹i.Lawan Suatu MatriksLawan suatu matriks adalah matriks yang elemen–elemennyamerupakan lawan dari elemen–elemen matriks tersebut. Lawanmatriks A dinotasikan dengan –A.Contoh 2.13Lawan matriks A = 2970§· ̈ ̧©¹ adalah –A = 2970§· ̈ ̧©¹Kerjakan di buku tugas Anda!1.Diketahui matriks B = 14 34527607 81§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹.Tentukan:a. ordo matriks B;b. elemen–elemen pada kolom ke–3;c.a13, a22, a34!2.Tentukan banyak elemen dari matriks–matriks berikut:a.A2 u 4b.B1 u 5c.C5 u 33.Pada bulan Januari, Luthfi membeli 4 buku tulis dan 5 pensil,sedangkan Toni hanya membeli 2 buku tulis dan 1 pensil. Padabulan berikutnya, Luthfi membeli lagi 3 buku tulis dan 2 pensil,sedangkan Toni membeli 6 buku tulis dan 4 pensil. Nyatakanpernyataan tersebut dalam bentuk matriks!4.Tentukan matriks–matriks koefisien untuk tiap sistem persamaanlinear berikut:a. 2x + 5y= 84x – y= –6Latihan 1
Matriks35b. 5x – 3y= 113x – 2y= 6c. 3x – y + z= 72x – 5y – 3z= 9x + 4y – z= –195.Tentukan lawan matriks berikut:a.4503§· ̈ ̧©¹c.17 6542§· ̈ ̧©¹b.14208152§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹d.12102122§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹3. Kesamaan MatriksDua buah matriks A dan B dikatakan sama dan ditulis A = B apabilakeduanya berordo sama dan semua unsur–unsur yang terkandung didalamnya bernilai sama.Contoh 2.14A = 231140§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹B =4321(1)40§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹C = 223log10120§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Jadi, A = B = C.Contoh 2.15Diketahui A = 2224xyxy§· ̈ ̧©¹ dan B = 2454§· ̈ ̧©¹.Tentukan nilai x dan y apabila A = B!
36Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaJawab:A = B, maka2x + y= 4u1 2x + y = 4x + 2y= 5u2 2x + 4y = 10–3y = –6y = 22x + y= 42x + 2 = 42x= 2x= 1Jadi, nilai x = 1 dan y = 2.4. Transpose MatriksTranspose matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan caramengubah setiap elemen baris matriks A menjadi elemen kolom matrikstransposenya, atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan denganAt atau A'. Penggunaan transpose sebuah matriks mempermudah berbagaianalisis matriks.Contoh 2.16A=2415§· ̈ ̧©¹, maka A' = At = 2145§· ̈ ̧©¹B=510735§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹, maka B' = Bt = 50 317 5§· ̈ ̧©¹Kerjakan di buku tugas Anda!1.Di antara matriks–matriks berikut ini, manakah yang sama?A = 1362§· ̈ ̧©¹B =3245§· ̈ ̧©¹C = 912364§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹D = 941625§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹E = (9 –1 5 7 0)F = 91570§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Latihan 2CatatanTranpose matriks diagonaladalah matriks diagonalitu sendiri.+
Matriks372.Tentukan transpose dari matriks–matriks berikut ini!a.A = 456179§· ̈ ̧©¹b.B = 90 174 310 05§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹3.Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut:a.23xy§· ̈ ̧©¹ = 146§· ̈ ̧©¹b.1070xy§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ = 7503§· ̈ ̧©¹c.125xy§· ̈ ̧©¹ = 45 2d.252124x§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ = 5812 2y§· ̈ ̧©¹4.Tentukan nilai x dan y jika At = B!a.A = 2289xy§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ dan B = 6843§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹b.A = 23142xy§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ dan B = 92516§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹5.Diketahui matriks A = 322aabbc c d§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹dan B = 6325§· ̈ ̧©¹.a. Tentukan At!b. Tentukan nilai 2a + b dan 3c + bd jika At = B!
38Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaB. Operasi Aljabar MatriksPada pembahasan di depan, kita telah mempelajari pengertian matriks,notasi, ordo matriks, jenis–jenis matriks, kesamaan matriks, dan transposematriks. Selanjutnya, kita akan membahas operasi (pengerjaan) antarmatriks,di antaranya adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriksdengan bilangan real (skalar), dan perkalian matriks dengan matriks.1. Penjumlahan MatriksUntuk memahami penjumlahan matriks, perhatikan tabel 2.2 berikut.Tabel 2.2Bulan 1Bulan 2JumlahAyamBebekAyamBebekAyamBebekPak Hasan201540206035Pak Ahmad5 02 07 53 01255 0Tabel 2.2 menunjukkan data jumlah telor yang dihasilkan oleh ayamdan bebek milik Pak Hasan dan Pak Ahmad selama 2 bulan berturut–turut. Jika data di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:A+B=C20 1550 20§· ̈ ̧©¹+ 40 2075 30§· ̈ ̧©¹=60 35125 50§· ̈ ̧©¹Perhatikan bahwa matriks A dan B adalah matriks yang berordo sama.Elemen–elemen matriks dari A dan B yang dijumlahkan adalah yangseletak. Sehingga diperoleh kesimpulan sebagai berikut.Jika A dan B adalah dua buah matriks yang berordo sama, makahasil penjumlahan matriks A dengan matriks B adalah sebuahmatriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen–elemen matriks A dengan elemen–elemen matriks B yang seletak.Jadi, jika diketahui A2 u 3 = 111213212223aaaaaa§· ̈ ̧©¹ dan B2 u 3 = 111213212223bbbbbb§· ̈ ̧©¹,maka: (A + B)2 u 3 =111112121313212122222323abab abababab§· ̈ ̧©¹
Matriks39Contoh 2.17Diketahui A = 2153§· ̈ ̧©¹, B = 4203§· ̈ ̧©¹, dan C = 1674§· ̈ ̧©¹.Tentukan: a)A + Bc) (A + B) + Cb)B + Ad)A + (B + C)Jawab:a)A + B=2153§· ̈ ̧©¹ + 4203§· ̈ ̧©¹=24 1(2)50 3(3)§· ̈ ̧©¹=6350§· ̈ ̧©¹b)B + A=4203§· ̈ ̧©¹ + 2153§· ̈ ̧©¹=6350§· ̈ ̧©¹c) (A + B) + C=21 4253 03§·§·§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹©¹ + 1674§· ̈ ̧©¹=6350§· ̈ ̧©¹ + 1674§· ̈ ̧©¹=5312 4§· ̈ ̧©¹d)A + (B + C)=2153§· ̈ ̧©¹ + 42 1603 74§·§·§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹©¹=2153§· ̈ ̧©¹ + 3471§· ̈ ̧©¹=5312 4§· ̈ ̧©¹
40Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaDari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat–sifatpenjumlahan matriks adalah:1. Sifat komutatif: A + B = B + A2. Sifat asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)A, B, C adalah matriks berordo sama.2. Pengurangan MatriksPengurangan matriks dapat dinyatakan dalam penjumlahan matriks,berdasarkan pada pemahaman tentang lawan suatu matriks. Jika A danB adalah dua matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks Adengan B dapat dinyatakan sebagai berikut:A – B = A + (–B)Jadi, jika diketahui:A2 u 3 = 111213212223aaaaaa§· ̈ ̧©¹ dan B2 u 3= 111213212223bbbbbb§· ̈ ̧©¹,maka: A – B= A + –B= 111112121313212122222323abab abababab§· ̈ ̧©¹Contoh 2.18Jika A = 685427§· ̈ ̧©¹ dan B = 12 305 3§· ̈ ̧©¹, tentukan A – B!Jawab:A – B=685427§· ̈ ̧©¹ – 12 305 3§· ̈ ̧©¹=6(1) 825340 257(3) §· ̈ ̧ ©¹=7684710§· ̈ ̧©¹
Matriks41Kerjakan di buku tugas Anda!1.Diketahui:A =2475§· ̈ ̧©¹, B = 3014§· ̈ ̧©¹, dan C = 4522§· ̈ ̧©¹Tentukan:a.A + Bd.B – Cb.A – Be.A + B + Cc.B + Cf.A – B – C2.Diketahui:A = 452367§· ̈ ̧©¹, B = 350614§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹, dan C = 416537§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Tentukan:a.A + Bt + Ctc.B – At + Cb.B – C + Atd.A – Bt + Ct3.Tentukan nilai x dan y dari:a.3453x§· ̈ ̧©¹ = 9865§· ̈ ̧©¹ – 3212y§· ̈ ̧©¹b.3443xy§· ̈ ̧©¹ + 3552yx§· ̈ ̧©¹ + 49918§· ̈ ̧©¹ = I4.Tentukan matriks A jika:a.3418§· ̈ ̧©¹ + A = 4207§· ̈ ̧©¹b.3584§· ̈ ̧©¹ – A = 1527§· ̈ ̧©¹c.A + 45 280 7§· ̈ ̧©¹ = 757346§· ̈ ̧©¹d.A – 2054§· ̈ ̧©¹ + I = 4153§· ̈ ̧©¹Latihan 3
42Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa5.Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan berikut ini!a.45zx§· ̈ ̧©¹ + 32xy§· ̈ ̧©¹ = 863z§· ̈ ̧©¹b.21xy§· ̈ ̧©¹ + 5zyx§· ̈ ̧©¹ = 347xy§· ̈ ̧©¹3. Perkalian Matriks dengan BilanganJika k adalah bilangan real dan A adalah sebuah matriks, maka kAadalah sebuah matriks baru yang diperoleh dari hasil perkalian k denganelemen–elemen matriks A.Misalnya:A =11121312122232123..................nnmmmmnaaaaaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹, maka kA = 11121312122232123..................nnmmmmnkakakakakakakakakakakaka§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Contoh 2.19A = 397215§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹, maka 2A= 2(3) 2(9)2( 7) 2(2)2(1) 2(5)§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹= 618144210§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut skalar. Sehinggaoperasi perkalian bilangan real k dengan matriks A disebut perkalian skalar.Perkalian matriks dengan skalar k berarti melakukan penjumlahan matrikssejenis sebanyak k kali.
Matriks43 Tugas IndividuSifat perkalian matriks dengan skalar:Jika matriks A dan B berordo sama dan k, lR (bilangan real),maka:a. (k + l)A=kA + lAb.k(A + B)=kA + kBc.k(lA)=(kl)Ad. 1 uA=Au1 = Ae.(–1)A=A(–1) = –AKerjakan dengan kelompok Anda!Buktikan bahwa jika A dan B matriks berordo sama dan k, lR,maka berlaku:a. (k + l)A=kA + lAb.k(A + B)=kA + kBc.k(lA)=(kl)Ad. 1 x A=A x 1 = Ae.(–1)A=A(–1) = –AContoh 2.20Diketahui matriks–matriks:A =2406§· ̈ ̧©¹dan B = 3690§· ̈ ̧©¹Tentukan matriks C berordo 2 u 2 yang memenuhi persamaan 3C + 13B = 2A!Jawab:2A = 22406§· ̈ ̧©¹ = 48012§· ̈ ̧©¹13B = 133690§· ̈ ̧©¹ = 1230§· ̈ ̧©¹
44Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaDari persamaan 3C + 13B = 2A diperoleh 3C = 2A – 13B3C=48012§· ̈ ̧©¹ – 1230§· ̈ ̧©¹=36312§· ̈ ̧©¹Jadi, C= 13(3C)= 1336312§· ̈ ̧©¹= 1214§· ̈ ̧©¹Kerjakan di buku tugas Anda!1.Diketahui A = 8246§· ̈ ̧©¹, tentukan hasil dari:a. 2Ad. –3Atb. –4Ae.12Ac.12Atf.2(A + At)2.Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan berikut ini:a.39126§· ̈ ̧©¹ = 3abcd§· ̈ ̧©¹b.13abcd§· ̈ ̧©¹ = 2341§· ̈ ̧©¹Latihan 4
Matriks45c.932364§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ = 12abcd§· ̈ ̧©¹ + 2abcd§· ̈ ̧©¹d. 4abcd§· ̈ ̧©¹ + 21851§· ̈ ̧©¹ = 624148§· ̈ ̧©¹3.Diketahui matriks A = 753124§· ̈ ̧©¹dan B = 26 810 84§· ̈ ̧©¹.Tentukanlah:a.2A + 12Bb.12(4A + B)c.Bagaimana hasil pada soal a dan b?4.Nyatakan hasilnya dalam matriks tunggal!a. 33576§· ̈ ̧©¹ + 122046§· ̈ ̧©¹b.13129315§· ̈ ̧©¹ – 2132362§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹c. 2435257§· ̈ ̧©¹ – 1265792§· ̈ ̧©¹ + 3134252§· ̈ ̧©¹5.Jika X adalah matriks 2 u 3, tentukan X dari persamaan berikutini:a.281012614§· ̈ ̧©¹ = –12Xb. 3X = 12618118 24 302§· ̈ ̧©¹
46Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa4. Perkalian Matriks dengan MatriksPerhatikan tabel 3.3 berikut! Tabel 3.3 (a) berisi data mengenaibanyaknya baju dan celana yang dibeli Indra dan Irfan. Sedangkan tabel3.3 (b) berisi data mengenai harga baju dan celana per potongnya.Tabel 3.3BajuCelanaHarga per potongIndra22BajuRp50.000,00Irfan31CelanaRp40.000,00(a)(b)Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Indra dan Irfan?Penyelesaian:qUang yang harus dibayarkan Indra:2 u Rp50.000,00 + 2 u Rp40.000,00 = Rp180.000,00qUang yang harus dibayarkan Irfan:3 uRp50.000,00 + 1 u Rp40.000,00 = Rp190.000,00Selain menggunakan cara di atas, kita juga dapat menyelesaikanpermasalahan tersebut dengan menggunakan matriks sebagai berikut:2231§· ̈ ̧©¹50.00040.000§· ̈ ̧©¹ = 2 50.000 2 40.0003 50.0001 40.000uu§· ̈ ̧uu©¹ = 180.000190.000§· ̈ ̧©¹Operasi di atas dinamakan perkalian matriks, yaitu denganmengalikan tiap elemen pada baris matriks pertama dengan elemen padakolom matriks kedua, kemudian hasilnya dijumlahkan. Perhatikan bahwabanyak baris matriks pertama sama dengan banyak kolom matriks kedua.Jadi, diperoleh:Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolommatriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matrikspengalinya. Hasil kali dua buah matriks Am u n dengan Bn u p adalahsebuah matriks baru Cm u p.Am u nuBn u p = Cm u nMisalkan A = abcd§· ̈ ̧©¹ dan B = pqrs§· ̈ ̧©¹, maka:AB = abcd§· ̈ ̧©¹pqrs§· ̈ ̧©¹ = apbraq bscpdrcq ds§· ̈ ̧©¹
Matriks47Contoh 2.21Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:A = 342105§· ̈ ̧©¹ dan B = 312452§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Jawab:A2 u 3 . B3 u 2 = C2 u 2A . B=342105§· ̈ ̧©¹312452§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹=3(3) 4(2) 2(5) 3(1) 4(4) (2( 2)(3) 0(2) 5(5)(1) 0(4) 5( 2)§· ̈ ̧ ©¹=27152211§· ̈ ̧©¹Contoh 2.22Diketahui matriks A = 3215§· ̈ ̧©¹. Tentukanlah:1) a)A2b)A32)A3 + 2A2 – 3AJawab:1) a)A2=A . A=3215§· ̈ ̧©¹3215§· ̈ ̧©¹=11 16827§· ̈ ̧©¹b)A3=3215§· ̈ ̧©¹11 16827§· ̈ ̧©¹ = 49 10251 151§· ̈ ̧©¹CatatanJika A suatu matriks persegi ataumatriks kuadrat, maka:A . A = A2A . A = A . A2 = A3A= A . A3 = A4...A . A . A. ... . A = A . An-1 = An
48Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa2)A3 + 2A2 – 3A= 49 10251 151§· ̈ ̧©¹+ 211 16827§· ̈ ̧©¹ – 33215§· ̈ ̧©¹= 49 10251 151§· ̈ ̧©¹+ 22 3216 54§· ̈ ̧©¹ – 96315§· ̈ ̧©¹= 62 12864 190§· ̈ ̧©¹Contoh 2.23Jika A = 1002§· ̈ ̧©¹, B = 2011§· ̈ ̧©¹, dan C = 3213§· ̈ ̧©¹.Tentukanlah:a) (AB)C dan A(BC)b)A(B + C) dan AB + ACc) (B + C)A dan BA + CAJawab:a) (AB)C= 10 2 002 1 1ªº§·§ ·«» ̈ ̧ ̈ ̧©¹© ¹¬¼3213§· ̈ ̧©¹= 2022§· ̈ ̧©¹3213§· ̈ ̧©¹= 64410§· ̈ ̧©¹A(BC)= 1002§· ̈ ̧©¹20321113ªº§·§·«» ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹¬¼= 1002§· ̈ ̧©¹6425§· ̈ ̧©¹= 64410§· ̈ ̧©¹Jadi, (AB)C = A(BC)
Matriks49b)A(B + C)= 1002§· ̈ ̧©¹20 3211 13ªº§·§·«» ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹¬¼= 1002§· ̈ ̧©¹5224§· ̈ ̧©¹= 5248§· ̈ ̧©¹AB + AC= 1002§· ̈ ̧©¹2011§· ̈ ̧©¹ + 1002§· ̈ ̧©¹3213§· ̈ ̧©¹= 2022§· ̈ ̧©¹ + 3226§· ̈ ̧©¹= 5248§· ̈ ̧©¹Jadi, A(B + C) = AB + AC3) (B + C)A= 20 3211 13ªº§·§·«» ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹¬¼1002§· ̈ ̧©¹= 5224§· ̈ ̧©¹1002§· ̈ ̧©¹= 5428§· ̈ ̧©¹BA + CA= 2011§· ̈ ̧©¹1002§· ̈ ̧©¹+ 3213§· ̈ ̧©¹1002§· ̈ ̧©¹= 2012§· ̈ ̧©¹+ 3416§· ̈ ̧©¹= 5428§· ̈ ̧©¹Jadi, (B + C)A = BA + CA
50Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaUntuk setiap matriks A, B, dan C (yang dapat dijumlahkan/dikalikan) dipenuhi:1. (AB)C = A(BC)oSifat Asosiatif2.A(B + C) = AB + ACoSifat Distributif Kiri3. (B + C)A = BA + CAoSifat Distributif Kanan4.k(AB) = (kA)B = A(kB)oPerkalian Skalar5.AI = IA = AoSifat Identitas6.AO = OA = OoSifat Matriks Nol7.ABzBAoTidak Berlaku Sifat KumutatifKerjakan dengan kelompok Anda!Buktikan bahwa:1.k(AB) = (kA)B = A(kB)2.AI = IA = A3.AO = OA = O4.ABzBADiskusikan dengan kelompok Anda!Kerjakan di buku tugas Anda!1.Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:a.421303§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹b.241xyz§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹c.75 6xyz§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ Tugas KelompokLatihan 5
Matriks512.Diketahui matriks A = 3213§· ̈ ̧©¹. Tentukan matriks A3!3.Tentukan nilai ab + 2cd jika 3 41015 111 13abcd§·§·§ · ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹© ¹!4.Diketahui matriks:A = 1022§· ̈ ̧©¹, B = 2341§· ̈ ̧©¹, dan C = 25 331 4§· ̈ ̧©¹.Tentukan:a.ABd.At. Cb.ACe.Bt. Cc.BCf.Ct. A5.Diketahui matriks:A = 1422§· ̈ ̧©¹, B = 1345§· ̈ ̧©¹, dan C = 2314§· ̈ ̧©¹Tentukan:a.A(B + C)b.AB + ACc. (B + C)Ad.BA + CAC. Determinan dan Invers MatriksPada pembahasan berikut ini, kita akan mempelajari cara menentukandeterminan dan invers matriks, khususnya matriks berordo 2 u 2, danpenggunaannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.1. Determinan MatriksJika diketahui matriks A = 4213§· ̈ ̧©¹, maka hasil kali antara 4 dan 3dikurangi hasil kali 1 dan 2, yaitu 12 – 2 = 10 dinamakan determinan.Determinan sebuah matriks adalah sebuah angka atau skalar yangdiperoleh dari elemen–elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu.
52Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaPenulisan determinan adalah dengan garis lurus.A = 11121312122232123.........................nnmmmmnaaaaaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹, maka determinan matriks A:det A = A=11121312122232123........................nnmmmmnaaaaaaaaaaaaa. Memahami determinan matriks ordo 2 u 2Khusus untuk matriks ordo 2 u 2, nilai determinannya merupakanhasil kali elemen–elemen pada diagonal utama dikurangi hasil kalielemen–elemen pada diagonal samping.Jika A = abcd§· ̈ ̧©¹, maka determinan matriks A didefinisikan:det A =A= abcd= ad – bcContoh 2.251) Diketahui matriks A = 5324§· ̈ ̧©¹.Hitunglah determinan matriks A!Jawab:det A =A =5324 = (5)(–4) – (2)(–3) = –20 + 6 = –14b. Memahami determinan matriks ordo 3 u 3 (pengayaan)Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 u 3, yaitu denganmeletakkan lagi elemen–elemen kolom pertama dan kedua di sebelahkanan kolom ketiga.Jika A = 111213212223313233aaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹, maka determinan matriks A:
Matriks53det A =A =111213212223313233aaaaaaaaa = 111213111221222321223132333132aaaaaaaaaaaaaaa(–) (–) (–) (+) (+) (+)=a11. a22. a33 + a12. a23. a31 + a13. a21. a32 – a13. a22. a31 –a11. a23. a32 – a12. a21. a33Contoh 2.26Diketahui matriks A = 342210527§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹.Hitunglah determinan matriks A!Jawab:detA = A=342342102152752(–) (–) (–) (+) (+) (+)=(3)(1)(7) + (4)(0)(5) + (2)(–2)(2) – (2)(1)(5) – (3)(0)(2) –(4)(–2)(7)=21 + 0 – 8 – 10 – 0 + 56=59Kerjakan di buku tugas Anda!1.Tentukan determinan dari matriks berikut:a.A = 6235§· ̈ ̧©¹b.B = 1730§· ̈ ̧©¹c.C = 4332§· ̈ ̧©¹CatatanqMatriks yang determinannyanol (0) disebut matriks singulardan tidak mempunyai invers.qMatriks yang determinannyatidak nol (0) disebut matrikstaksingular atau nonsingulardan selalu mempunyai invers.Latihan 6
54Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa2 .Diketahui determinan matriks A = 24 224xx§· ̈ ̧©¹ bernilai 0.Hitunglah nilai x!3.Tentukan nilai a yang mungkin jika persamaannya seperti berikut:a.333aa= 3b.5212aaaa= 0 dengan az 04.Diketahui A = 7763 1x§· ̈ ̧©¹ dan B = 2475x§· ̈ ̧©¹. Bila A = 7B,tentukan nilai x!2. Invers MatriksDalam perkalian bilangan real, au 1 = 1 ua = a, aR. Dalam hal ini, 1adalah elemen identitas. Selain itu, juga diketahui bahwa abuba = 1 dengana, bR dan ba dikatakan saling invers.a. Dua Matriks Saling InversInvers suatu matriks dapat digunakan untuk memecahkan sistempersamaan linear yang sederhana atau rumit. Jika A dan B merupakanmatriks persegi berordo sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalahinvers A (B = A–1) atau A adalah invers B (A = B–1). Berarti A dan Bsaling invers.Contoh 2.27Jika diketahui A = 3423§· ̈ ̧©¹ dan B = 3423§· ̈ ̧©¹Apakah A dan B saling invers?
Matriks55Jawab:AB= 3423§· ̈ ̧©¹3423§· ̈ ̧©¹ = 9 812 126689§· ̈ ̧©¹ = 1001§· ̈ ̧©¹ = IBA= 3423§· ̈ ̧©¹3423§· ̈ ̧©¹ = 9 8 12 126689§· ̈ ̧ ©¹ = 1001§· ̈ ̧©¹ = IJadi, AB = BA = I, sehingga A merupakan invers B atau B merupakaninvers A (A dan B saling invers).b. Menentukan invers matriks persegi ordo 2 u 2Misalkan matriks persegi berordo 2 yang akan kita cari inversnyaadalah:A = abcd§· ̈ ̧©¹ dan inversnya A–1 = pqrs§· ̈ ̧©¹, maka:A.A–1=Iabcd§· ̈ ̧©¹pqrs§· ̈ ̧©¹=1001§· ̈ ̧©¹ap braq bscp drcq ds§· ̈ ̧©¹=1001§· ̈ ̧©¹Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:1) 1 0apbrcpdr ½¾ ¿ diperoleh p= dad bc r= cad bc2) 0 1aq bscq ds ½¾ ¿ diperoleh q= badbc s= aad bcSehingga:A–1= pqrs§· ̈ ̧©¹
56Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa= dbad bcad bccaad bcad bc§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹= 1ad bcdbca§· ̈ ̧©¹Dengan demikian diperoleh:Jika A = abcd§· ̈ ̧©¹, makaA–1=1ad bcdbca§· ̈ ̧©¹=1detAdbca§· ̈ ̧©¹dengan ad – bcz 0Contoh 2.28Tentukan invers dari matriks A = 3412§· ̈ ̧©¹!Jawab:A–1=1(3)(2) (4)(1)2413§· ̈ ̧©¹=122413§· ̈ ̧©¹A–1=121322§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Contoh 2.29Jika X matriks berordo 2 u 2, tentukanlah X dari persamaan berikut ini!X2112§· ̈ ̧©¹ = 4510 11§· ̈ ̧©¹
Matriks57Jawab:Untuk mencari X, kedua ruas dikalikan dengan invers 2112§· ̈ ̧©¹ disebelah kanan.Sehingga: X2112§· ̈ ̧©¹ = 4510 11§· ̈ ̧©¹X2112§· ̈ ̧©¹ . 132-1-12§· ̈ ̧©¹ = 4510 11§· ̈ ̧©¹. 132-1-12§· ̈ ̧©¹ X2112§· ̈ ̧©¹21331233§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹= 4510 11§· ̈ ̧©¹21331233§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ X1001§· ̈ ̧©¹= 1234§· ̈ ̧©¹ X= 1234§· ̈ ̧©¹Kerjakan dengan kelompok Anda!1.Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear 1 0ap brcp dr ½¾ ¿mempunyai penyelesaian:p = dad bc dan r = cad bc2.Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear 0 1aq bscq ds ½¾ ¿mempunyai penyelesaian:q = bad bc dan s = aad bcTugas Kelompok Tugas Kelompok
58Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaD. Invers Matriks Ordo 3 (pengayaan)Sebelum mempelajari invers ordo 3, Anda harus paham terlebih dulumengenai minor, kofaktor, dan adjoin.1. Pengertian MinorMisalkan matriks A = 111213212223313233aaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹.Jika elemen–elemen pada baris ke–i, kolom ke–j dari matriks A dihapus,maka akan diperoleh matriks persegi berordo 2. Determinan darimatriks persegi ordo 2 itu merupakan minor matriks A dan ditulisdengan lambang ijM disebut minor aij.Matriks ordo 3 memiliki minor sebanyak 9 buah.a) Jika baris pertama dan kolom pertama dihapus, maka:111213212223313233aaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ diperoleh 22233233aaaa§· ̈ ̧©¹Sehingga minor a11 adalah 11M = 22233233aaaab) Jika baris pertama kolom kedua dihapus, maka:111213212223313233aaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ diperoleh 21233133aaaa§· ̈ ̧©¹Sehingga minor a12 adalah 12M = 21233133aaaac) Jika baris pertama kolom ketiga dihapus, maka:111213212223313233aaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ diperoleh 21223132aaaa§· ̈ ̧©¹Sehingga minor a13 adalah 13M = 21223132aaaaDemikian seterusnya sampai minor ke–9 atau 33M.
Matriks592. Pengertian Kofaktor Jika ijM adalah minor aij dari matriks A, maka bentuk (–1)i+jijM disebut kofaktor dari aij, sehingga:Kofaktor a11 adalah c11=(–1)1+111M=+11MKofaktor a12 adalah c12=(–1)1+212M=–12MKofaktor a13 adalah c13=(–1)1+313M=+13MKofaktor a21 adalah c21=(–1)2+121M=–21MKofaktor a22 adalah c22=(–1)2+222M=+22MKofaktor a23 adalah c23=(–1)2+323M=–23MKofaktor a31 adalah c31=(–1)3+131M=+31MKofaktor a32 adalah c32=(–1)3+232M=–32MKofaktor a33 adalah c33=(–1)3+333M=+33M3. Pengertian AdjoinJika cij adalah kofaktor dari aij pada matriks A, maka adjoin matriksA (disingkat adj A) ditentukan oleh:adj A=112131122232132333§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹cccccccccAtauadj A =222321232122323331333132121311131112323331333132121311131112222321232122§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
60Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaContoh 2.30Tentukan minor, kofaktor, dan adjoin dari matriks A = 231032514§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹!Jawab:1. Minor:Minor a11 = 11M= 3214 = (–3)(4) – (–2)(–1) = –12 – 2 = –14Minor a12 = 12M= 0254 = 0 – (–10) = 10Minor a13 = 13M= 0351 = 0 – (–15) = 15Minor a21 = 21M= 3114 = 12 – (–1) = 13Minor a22 = 22M= 2154 = 8 – 5 = 3Minor a23 = 23M= 2351= –2 – 15 = –17Minor a31 = 31M= 3132 = –6 – (–3) = –3Minor a32 = 32M= 2102= –4 – 0 = –4Minor a33 = 33M= 2303 = –6 – 0 = –62. Kofaktor:c11= (–1)1+1 11M= +11M= –14c12= (–1)1+212M= –12M = –10c13= (–1)1+313M= +13M = 15
Matriks61c 21= (–1)2+1 21M= –21M = –13c 22= (–1)2+222M= +22M = 3c 23= (–1)2+3 23M = –23M = 17c 31= (–1)3+131M = +31M = –3c 32= (–1)3+232M = –32M= 4c 33= (–1)3+333M= +33M = –63. Adjoinadj A=112131122232132333ccccccccc§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ = 14133103415176§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹4. Invers Matriks Ordo 3 × 3Jika A = 111213212223313233aaaaaaaaa§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ dan det Az 0, maka invers A adalah:A–1=1detA. adj AContoh 2.31Carilah invers matriks A = 231032514§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹!Jawab:det A=231230320351451 =(2)(–3)(4) + (3)(–2)(5) + (1)(0)(–1) – (1)(–3)(5) – (2)(–2)(–1) –(3)(0)(4)=–24 – 30 – 0 + 15 – 4 – 0=–43
62Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaA–1= 1detA. adj A= –14314133103415176§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹= 14133434343103443434315176434343§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Kerjakan di buku tugas Anda!1.Tentukan invers dari matriks di bawah ini!a.A = 3567§· ̈ ̧©¹b.B =4935§· ̈ ̧©¹c.C =2143§· ̈ ̧©¹2.Jika X adalah matriks ordo 2 × 2, tentukanlah matriks X berikut:a.1223§· ̈ ̧©¹X = 25510§· ̈ ̧©¹b.1212§· ̈ ̧©¹X = 7272§· ̈ ̧©¹c.X1623§· ̈ ̧©¹ = 103309§· ̈ ̧©¹d.X1032§· ̈ ̧©¹ = 11420 14§· ̈ ̧©¹Latihan 7
Matriks633.Diketahui matriks C = 5324§· ̈ ̧©¹ dan D = 8221§· ̈ ̧©¹. Tentukan:a.CDc.C–1e.C–1D–1g.(CD)–1b.DCd.D–1f.D–1C–1h. (DC)–14.Diketahui matriks A = 30125110 2§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹. Tentukan:a.13Mc.32Me.c23b.22Md.c11f.c315.Tentukanlah adjoin dan invers dari matriks–matriks berikut.a.A =60 234 157 1§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹b.B =254160893§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹4. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan LinearKita telah mengetahui bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaanlinear dapat digunakan metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi,maupun metode campuran. Pada sub bab ini, kita akan mempelajari caralain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, yaitudengan menggunakan matriks.Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel.a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2Jika diubah ke dalam matriks menjadi:1122abab§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹= 12cc§· ̈ ̧©¹a. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan inversmatriks1122abab§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹ = 12cc§· ̈ ̧©¹
64Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaJikaA=1122abab§· ̈ ̧©¹, maka:Axy§· ̈ ̧©¹=12cc§· ̈ ̧©¹A–1.Axy§· ̈ ̧©¹=A–112cc§· ̈ ̧©¹Ixy§· ̈ ̧©¹=A–112cc§· ̈ ̧©¹Jadi, diperoleh:xy§· ̈ ̧©¹=A–112cc§· ̈ ̧©¹b. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengandeterminan1122abab§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹=12cc§· ̈ ̧©¹Penyelesaian untuk nilai x dan y dapat dinyatakan dengan notasideterminan, yaitu:x = 11221122cbcbababdan y = 11221122acacababatauxDxD dan yDyD; D z 0dengan ketentuan sebagai berikut:1122abDab adalah determinan dari koefisien–koefisien variabel x dan y.1122xcbDcb adalah determinan D dengan bagian kolom pertamanyadiganti oleh konstanta c1 dan c2.
Matriks651122yacDac adalah determinan D dengan bagian kolom keduanya digantioleh konstanta c1 dan c2.Contoh 2.2Tentukan himpunan penyelesaian dari:2414311xyxy ® ̄a. dengan invers matriks;b. dengan determinan!Jawab:Persamaan matriksnya adalah:1122abab§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹ = 12cc§· ̈ ̧©¹2431§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹ = 1411§· ̈ ̧©¹a. Dengan invers matriksMisalA=2431§· ̈ ̧©¹, maka:A–1=141322.1 4.3§· ̈ ̧©¹=1413210§· ̈ ̧©¹=1210531105§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Sehingga:1210531105§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹2431§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹= 1210531105§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹1411§· ̈ ̧©¹
66Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa1001§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹= 32§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹= 32§· ̈ ̧©¹Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, 2}.b. Dengan determinanx=xDD=11221122cbcbabab=14 411 12431=14 44212=3010=3y=yDD=11221122acacabab=2143112431Info MatematikaArthur Cayley (1821 - 1895) merupakanorang yang pertama kali memperkenalkanmatriks dalam sebuah studi tentangsistem persamaan linear dan transformasilinear di Inggris pada tahun 1859.Matriks sempat tidak dianggap karenatidak dapat diaplikasikan. Akhirnya,pada tahun 1925, yaitu 30 tahun setelahCayley wafat, matriks diakui memegangperanan penting dalam perkembanganmekanika kuantum.
Matriks67=22 42212=2010=2Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, 2}.Sekarang, Anda tentu dapat menyelesaikan permasalahan di depan,bukan? Coba perhatikan uraian berikut ini.Fita membeli 3 kg jeruk dan 4 kg manggis dengan harga keseluruhanRp38.000,00. Ratna membeli 2 kg jeruk dan 3 kg manggis dengan hargakeseluruhan Rp27.000,00. Untuk menentukan harga jeruk dan manggistiap kg–nya, kita dapat membuat model matematikanya dalam bentukmatriks sebagai berikut:3423§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹ = 38.00027.000§· ̈ ̧©¹dengan x = harga jeruk tiap kg dan y = harga manggis tiap kg.Misal A = 3423§· ̈ ̧©¹ maka A–1=3412398§· ̈ ̧©¹=3423§· ̈ ̧©¹Sehingga xy§· ̈ ̧©¹= 3423§· ̈ ̧©¹38.00027.000§· ̈ ̧©¹= 3 38.0004 27.0002 38.0003 27.000§· ̈ ̧©¹= 114.000 108.00076.000 81.000§· ̈ ̧©¹= 6.0005.000§· ̈ ̧©¹Jadi, harga jeruk adalah Rp6.000,00 per kg dan harga manggis Rp5.000,00per kg.Penyelesaian permasalahan di atas dengan menggunakan inversmatriks. Dapatkah Anda menemukan penyelesaiannya denganmenggunakan determinan? Apakah hasilnya sama?
68Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaKerjakan dengan kelompok Anda!Carilah artikel di koran, majalah, internet, dan sebagainya mengenaipermasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang berbentuk sistempersamaan linear dua variabel. Buatlah model matematikanya dantemukan penyelesaiannya dengan menggunakan invers matriks dandeterminan. Diskusikan hasilnya dengan guru Anda.Kerjakan di buku tugas Anda!1 .Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan invers matriks.a.32 1448xyxy ® ̄b.21742xyxy ® ̄c.234045140xyxy ® ̄2.Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengandeterminan.a.23421xyxy ® ̄b.741765 23xyxy ® ̄c.45805110xyxy ® ̄3.Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:a.1144312823xyxy °°®° ° ̄Latihan 8Tugas Kelompok Tugas Kelompok
Matriks69Rangkumanb.1133523435pqpq °°®° ° ̄4.Perhatikan tabel di bawah ini!Tabel 3.3IwanIrfanHonor lemburHari biasa 10 jam6 jamIwanRp146.000,00Hari libur 3 jam4 jamIrfanRp78.000,00(a)(b)Kedua tabel tersebut menunjukkan banyak jam dan honor lembur duakaryawan suatu perusahaan dalam satu minggu. Tentukan honorlembur tiap jamnya pada hari biasa dan hari libur!5.Pada ujian Bahasa Inggris ada dua tipe soal yang harus dikerjakan.Untuk mengerjakan soal A, Dewi membutuhkan waktu rata–rata3 menit per nomornya dan waktu rata–rata 2 kali lipatnya untuksoal B per nomornya. Sedangkan Wahyu hanya membutuhkanwaktu rata–rata 2 menit per nomor untuk soal A dan 5 menit pernomor untuk soal B. Bila Dewi mampu menyelesaikan ujiantersebut dalam waktu 2 jam, sedangkan Wahyu hanya 1,5 jam,tentukan jumlah soal pada kedua tipe soal ujian Bahasa Inggristersebut!1.Jika A = abcd§· ̈ ̧©¹, maka transpose matriks A adalah At = acbd§· ̈ ̧©¹.2.Dua buah matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks samadan elemen–elemen yang seletak bernilai sama.3.Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordokedua matriks tersebut sama. Cara menjumlahkan adalah denganmenjumlahkan elemen–elemen yang seletak.
70Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaUji Kompetensi4.Perkalian matriks dengan bilangan adalah dengan caramengalikan bilangan tersebut dengan elemen–elemen matriks.5.Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matrikspertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Misalnya:abcd§· ̈ ̧©¹pqrs§· ̈ ̧©¹ = ap braq bscp drcq ds§· ̈ ̧©¹6.Determinan ordo 2: det A = A = abcd = ad – bc.7.Invers matriks ordo 2: A–1 = 1ad bcdbca§· ̈ ̧©¹.Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!1.Jika 61622 12§· ̈ ̧©¹ = 214p§· ̈ ̧©¹4324q§· ̈ ̧©¹, maka tentukan nilai 3p + 2q!2.Jika 3751§· ̈ ̧©¹2043a§· ̈ ̧©¹ = 65621§· ̈ ̧©¹ + 4620§· ̈ ̧©¹, tentukan nilai 2a!3.Diketahui matriks A = 5223x§· ̈ ̧©¹, B = 1422§· ̈ ̧©¹, dan C = 136814§· ̈ ̧©¹.Jika AuBt = C, tentukan nilai 3x!4.Diketahui matriks A = 1231§· ̈ ̧©¹, B = 1003§· ̈ ̧©¹, dan C = 4623§· ̈ ̧©¹.Tentukan:a. 2A' + BCb. 3C' – (AB)'
Matriks715.Jika diketahui 2002§· ̈ ̧©¹.X = 2468§· ̈ ̧©¹, maka tentukan matriks X!6.Diketahui matriks C = 4115§· ̈ ̧©¹. Tentukan matriks D yangmemenuhi DC = I!7.Jika 2315§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹= 111§· ̈ ̧©¹, maka tentukan nilai x dan y!8.Diketahui matriks:A = 12112§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ dan B = 12112a§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹Apabila A = 2Bt, maka tentukan nilai 3a!9.Tentukan invers dari matriks A = 3469§· ̈ ̧©¹!10.Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:2314 042 12xyxy ® ̄a. dengan invers matriks;b. dengan determinan matriks!11.Diketahui matriks C = 974x§· ̈ ̧©¹ dan D = 553xxx§· ̈ ̧©¹.Apabila CD, maka tentukan nilai x yang memenuhi!12.Tentukan invers dari matriks P = 31 342 133 4§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹!13.Diketahui: 12 1313232§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹abc§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ = 81414§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹, maka tentukan nilai a, b, dan c!
72Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaPengayaan14.Indra membeli 3 topi dan 2 kaos olahraga dengan harga totalRp145.000,00, sedangkan Irfan harus membayar Rp180.000,00untuk 2 topi dan 3 kaos olahraga.a. Buatlah matriks berordo 2 u 3 yang mungkin!b. Berapa harga 4 topi dan 2 kaos olahraga?15.Nita membeli 3 kg rambutan dan 3 kg duku dengan harga totalRp39.000,00, sedangkan Dewi membayar Rp47.000,00 untuk2 kg rambutan dan 4 kg duku. Dengan menggunakan inversmatriks, tentukan harga rambutan dan duku tiap 1 kg!Kerjakan di buku tugas Anda!1.3231logloglogxyzy§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ = 24124logz§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹Tentukan nilai 2x + y + 3z!2.Sebuah perusahaan memproduksi 2 tipe sepeda. Pembuatan keduatipe sepeda tersebut menggunakan mesin A dan mesin B. Waktuyang diperlukan untuk memproduksi sepeda tipe I adalah 2 jamdi mesin A dan 3 jam di mesin B, sedangkan untuk sepeda tipe IImembutuhkan waktu 3 jam di mesin A dan 2 jam di mesin B.Kedua mesin bekerja selama 18 jam tiap hari. Misalkan x adalahbanyaknya sepeda tipe I dan y adalah banyaknya sepeda tipe II.a. Buatlah model matematikanya!b. Tentukan banyaknya sepeda tipe I dan tipe II yang diproduksidalam seminggu (7 hari)!
Uji Semester Gasal73I. Pilihlah jawaban yang benar!1.Daerah yang memenuhi penyelesaian dari 2x – yd 3, 5x + 7y t35,3x – 4y t –12 dengan x, y R ditunjukkan oleh ....a.Ib.IIc.IIId.IVe.V2.Gambar di bawah ini menunjukkan daerah himpunanpenyelesaian dari sistem pertidaksamaan ....a.4x + 9y d36, 8x + 7y d 56, x t0, yt 0b.4x + 9y t 36, 8x + 7y t56, x t 0, yt 0c.9x + 4y d 56, 7x + 8y d 36, x t 0, yt 0d.9x + 4y d 36, 7x + 8y d 56, x t 0, yt 0e.9x + 4y t 36, 7x + 8y t 56, x t 0, yt 0Uji Semester Gasal753O–4357XY–3IVVIIIIIIXY97O48daerah himpunanpenyelesaian
74Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa3.Kapasitas maksimum sebuah pesawat penumpang adalah 120kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60kg, sedangkan kelas ekonomi 30 kg. Pesawat hanya dapat mebawabagasi 1.500 kg. Model matematika yang sesuai pernyataantersebut adalah ....a.2x + y d50, x + y d120, x t0, yt 0b.2x + y t 50, x + y d 120, x t 0, y t 0c.2x + y d 50, x + y t 120, x t 0, y t 0d.60x + 30y t 1.500, x + y t 120, x t 0, yt 0e.60x + 30y t 1.500, x + y d 120, xt 0, yt 04.Nilai yang memaksimumkan fungsi z = 3x + 5y dengan kendalax + 2y d10, 3x + y d 10, xt 0, yt 0 dengan x, y R adalah ....a.(1, 3)d.b.(2, 4)e.(4, 5)c.(2, 5)5 .Diketahui sistem pertidaksamaan x + y t 5, 3x + 8y t 24, x t0, yt 0dengan x, y N (N himpunan bilangan asli). Nilai minimum fungsiz = 2x + y dicapai pada titik ....a.(0, 3)d.(2, 3)b.(0, 5)e.(8, 0)c.(1, 4)6.Diketahui sistem pertidaksamaan 3x + 5y d15, 6x + 3y d18, x !0,dan y! 0 dengan x, y N. Nilai 2x + y untuk setiap titik padadaerah himpunan penyelesaian adalah ....a.3 dan 4d.2, 3, 4, dan 5b.2, 3, dan 4e.2, 3, 4, 5, dan 6c.3, 4, dan 57.Seorang pedagang membeli pakaian dewasa seharga Rp30.000,00dan pakaian anak-anak seharga Rp10.000,00. Kios pedaganghanya mampu menampung tidak lebih dari 60 potong pakaian.Modal pedagang Rp1.500.000,00. Jika laba pakaian dewasaRp20.000,00 per potong dan pakaian anak-anak Rp10.000,00 perpotong, maka jumlah laba maksimum yang dapat diperolehpedagang tersebut sebesar ....a.Rp600.000,00d.Rp1.050.000,00b.Rp750.000,00e.Rp1.200.000,00c.Rp900.000,00
Uji Semester Gasal758.Diketahui A = 46xy§· ̈ ̧©¹, B = 1234§· ̈ ̧©¹, dan C = 914314§· ̈ ̧©¹. Nilai 2x + yyang memenuhi persamaan AB + 2A = 2C adalah ....a.5d. 9b.6e.1 0c.89.Jika A = 2345§· ̈ ̧©¹dan B = 2543§· ̈ ̧©¹, maka A'.B adalah ....a.20 2226 30§· ̈ ̧©¹d.30 2026 22§· ̈ ̧©¹b.20 2630 22§· ̈ ̧©¹e.22 3020 26§· ̈ ̧©¹c.26 2030 22§· ̈ ̧©¹10.Diketahui A = 8245x§· ̈ ̧©¹ dan B = 273 1xx§· ̈ ̧©¹. Jika det A = det Bsama, maka nilai x yang memenuhi adalah ....a.–6 dan –3b.–3 dan 3c.–6 dan 3d.–3 dan 6e.3 dan 611.Diketahui A = 2335xx§· ̈ ̧©¹dan B = 375x§· ̈ ̧©¹. Agar det A sama dengan2 kali det B, maka nilai 2x adalah ....a.–1b.–2c.–3d.–4
76Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa12.Diketahui matriks A = 4365§· ̈ ̧©¹ dan B = 1231§· ̈ ̧©¹. Nilai A–1 + 2Badalah ....a.231453§· ̈ ̧©¹d.52110 82§· ̈ ̧©¹b.251683§· ̈ ̧©¹e.15223§· ̈ ̧©¹c.411352§· ̈ ̧©¹13.Determinan matriks A yang memenuhi persamaan:4725§· ̈ ̧©¹A = 225 161711§· ̈ ̧©¹ adalah ....a.1b.2c.3d.4e.514.Diketahui matriks A = 6576§· ̈ ̧©¹. Nilai 2A– 1 adalah ....a.10121214§· ̈ ̧©¹d.12101412§· ̈ ̧©¹b.12101412§· ̈ ̧©¹e.12101412§· ̈ ̧©¹c.10121214§· ̈ ̧©¹
Uji Semester Gasal7715.Persamaan 5134§· ̈ ̧©¹xy§· ̈ ̧©¹ = 1422§· ̈ ̧©¹ mempunyai penyelesaian xy§· ̈ ̧©¹ = ....a.12§· ̈ ̧©¹e.44§· ̈ ̧©¹b.23§· ̈ ̧©¹d.34§· ̈ ̧©¹c.24§· ̈ ̧©¹II. Kerjakan dengan benar!1.Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaanberikut:2x + y d10, 2x + 3y d 12, x t0, y t 0 dengan x, y R2.Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah himpunanpenyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut:a.b.3.Sebuah area parkir dengan luas 200 m² dapat menampungmaksimal 50 kendaraan. Luas rata-rata untuk parkir mobil 5 m²dan bus 20 m². Buatlah model matematikanya!4.Untuk menambah penghasilan, setiap hari Bu Sari membuat duajenis gorengan untuk dijual. Setiap gorengan A membutuhkanmodal Rp300,00 dengan keuntungan 30%, sedangkan setiapgorengan B membutuhkan modal Rp200,00 dengan keuntungan40%. Modal yang tersedia setiap hari Rp100.000,00 dan palingbanyak Bu Sari hanya mampu membuat 200 gorengan. Berapapersen keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Bu Sarisetiap harinya?5.Tentukan nilai maksimum fungsi objektif z = 7x + 9y dengankendala–kendala x + y d6, 2x + 3y d 15, x t0, yt 0 dengan x, y R!YX31O12daerah himpunanpenyelesaianYX426O–2daerah himpunanpenyelesaian
78Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa6.Diketahui A = 3410x§· ̈ ̧©¹dan B = 5387x§· ̈ ̧©¹. Apabila 3A = 2B,tentukan nilai:a.xb.x² – 57.Diketahui matriks A = 2435§· ̈ ̧©¹ dan B = 1357§· ̈ ̧©¹. Tentukan hasildari (AB)–1!8.Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikutdengan menggunakan determinan matriks!a.1623217yxxy ® ̄b.35504640xyxy ® ̄9.Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikutdengan menggunakan invers matriks!a.2311311xyxy ® ̄b.31152624yxxy ® ̄10. Perhatikan tabel harga berikut!Harga per potongKueRp2.000,00CoklatRp3.000,00Purbo membeli 12 potong kue dan coklat. Ia harus membayarsebesar Rp32.000,00.a.Nyatakan dalam bentuk operasi aljabar matriks!b.Tentukan banyaknya kue dan coklat yang dibeli Purbo!